Занимательная топология: выворачивание сферы

[ibsorath]

Офигенное объяснение "на пальцах" теоремы Смейла, а точнее её следствия, которое тоже "на пальцах" часто формулируют как "в трёхмерном пространстве сферу можно вывернуть наизнанку". Разумеется, все термины (такие как "внутренняя" и "внешняя" сторона, "выворачивание" и т.п.) тут имеют особое значение, но всё-таки...

Вообще-то это всё относится к тому, что я называю "эзотерической математикой": всякая дифференциальная топология, алгебраическая геометрия и т.п.
Надеюсь найти когда-нибудь пяток-другой лет, чтобы разобраться в самых азах. Но снимаю шляпу перед теми, кто делает вот такие красивые, увлекательные и интересные иллюстрации.

Comments

[obormonster.livejournal.com]

Однако ж, интересное видео. Только какая польза от сей теоремы?

[ibsorath.livejournal.com]

Смотря что Вы подразумеваете под "пользой". Если возможность корчевать пни или делать карьеру в офисе - то почти никакой, скорее всего)))

[noise-absorber.livejournal.com]

да уж...
а что если допустить что реальное пространство можно привести к состоянию возможности взаимного пересечения с теми же условиями и развернуть его наизнанку?) но для начала видимо надо его как-то в четырёхмерном пространстве представить как трёхмерность замкнутую в повернхость сферы..

[ibsorath.livejournal.com]

Не уверен, что правильно понял мысль.

Вероятно, ты имеешь в виду аналогичную теорему, когда выворачивается не 2-мерная сфера в 3-мерном пространстве, а 3-мерная сфера в 4-мерном? В таком случае я даже не в курсе, возможно ли это.

Окружность (1-мерная сфера) на плоскости (2-мерное пространство) не выворачивается, как показано на видео. Сфера в трехмерном выворачивается. А вот в каких пространствах больших размерностей как обстоят дела, я совершенно не представляю - говорю же, это для меня пока запредельные вещи. Четырёхмерное пространство вообще во многих отношениях уникально, насколько я знаю, то есть есть вещи, которые в нём работают, а например в 5-мерном и выше уже нет.

[ichhantik.livejournal.com]

А двухмерная в четырехмерном??

[ibsorath.livejournal.com]

Тут просто. Двумерная в четырёхмерном это двумерная в трёхмерной гиперплоскости, которая в свою очередь лежит в четырёхмерном пространстве. Так как двумерная сфера в трёхмерной гиперплоскости выворачивается, то ясно дело никакой роли не играет то, где сама эта гиперплоскость лежит - хоть в 4-х, хоть в 100 мерном пространстве.

[ichhantik.livejournal.com]

А не может сфера принадлежать к нескольким разным гиперплоскостям? И можно ли такую сферу вывернуть?

[ibsorath.livejournal.com]

Давай разбираться. Обычная окружность (1-мерная сфера) может принадлежать только одной (2-мерной) плоскости - если бы она лежала в двух разных плоскостях, то мы бы получили, что через 3 точки окружности (например вершины вписанного в неё треугольника) проходят 2 разные плоскости, а это противоречит аксиоме. Соответственно, обычная 2-мерная сфера может принадлежать только одной трёхмерной (гипер)плоскости - иначе, если бы 2-сфера лежала в двух разных 3-плоскостях, то взяв 4 точки сферы (например вершины вписанного тетраэдра), мы бы получили, что через 4 точки проходят 2 разные 3-плоскости, что опять таки противоречит аксиоме.

[ibsorath.livejournal.com]

Кстати говоря, один из первых способов выворачивания сферы наизнанку (то есть конкретный пример, а не просто абстрактное доказательство возможности) придумал математик Бернард Морин, который был с детства слепой!

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Условия задачи в самом начале, исключают такую возможность. Проще говоря, данные действия живут своими ограниченными законами.

[ibsorath.livejournal.com]

Нельзя ли пояснить, а то я лично вообще ничего не понял

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Материя, из которой строятся фигуры, абстрактна. Ее нет, и она не поддается законам физики. Она ограничивается всего-лишь одним математическим условием (речь идет о преломлении) и одним физическим (речь идет о количестве материи). Реальный мир ограничивают несколько сотен законов физики, наше восприятие ограничено математикой и Евклидовой геометрией.

p.s. Хотя я могу и ошибаться, и все не так плохо. :)

[ibsorath.livejournal.com]

Честно говоря, теперь вообще мозг вскипел. Как ни пытался, всё равно не врубаюсь, о чём ты. Если не трудно, разжуй для тупых.

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Ладно, метод от противного. Назови хотя бы одну реально-существующую материю, которая может проходить сквозь себя, и саморазрушатся при сгибании.

[ibsorath.livejournal.com]

То есть материал типа металла или поролона, это ты имеешь в виду? Чтоб такими свойствами обладал?

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Да.

[ibsorath.livejournal.com]

Я лично такого материала не знаю.

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Потому что его нет. Ибо у любого вещества есть три состояния, и не одно из них не обладает такими свойствами. Отсюда следует, что допущение, которое предположил noise_absorber в корне не верно. :)

[ibsorath.livejournal.com]

Так он же не про материал предположение делал, а про пространство. А пространство - это не материал.

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Пространство есть некая "арена" которая окружает физические объекты, и может быть описано с помощью законов математики. То есть, ты и я находимся в пространстве. Ты и я - состоим из материи. Отсюда вывод, что вывернуть наше пространство невозможно.

[ibsorath.livejournal.com]

Никак не могу понять вот именно последний переход. Мы состоим из материи - согласен. Наше взаиморасположение описывается законами математики, то есть пространством - согласен. Пространство нельзя вывернуть - КАК этот вывод получился?

Кроме того, "прохождение материала сквозь себя" и "исчезновение материала" - это просто аналогии, использованные в видео, чтобы наглядно пояснить абстрактную теорему.

Вообще-то, если на то пошло, абстрактная плоскость имеет толщину в одну точку, поэтому она никак не может быть с одной стороны красная, с другой синяя - потому что какого цвета тогда будут точки? ))

[ibsorath.livejournal.com]

Тем не менее, есть строгое математическое понятие "двусторонней" или "односторонней" поверхности. В этом смысле вполне можно говорить о выворачивании пространства, подобно тому как в ОТО Эйнштейна речь идёт об искривлении пространства.

[obormonster.livejournal.com]

Кстати, коль скоро упомянули односторонние поверхности. Что будет с листом Мебиуса? Как он впишется в сию теорию?

[ibsorath.livejournal.com]

Я, честно говоря, не понял, какую "теорию" Вы имеете в виду, и о каком "вписывании" идёт речь. Есть теорема: двумерную сферу можно определённым образом продеформировать, так что в некотором смысле "стороны" её поменяются местами.

Может быть, Вас интересует, справедлива ли аналогичная теорема для листа Мёбиуса? Так для него даже формулировать её не получится: во-первых, у листа Мёбиуса и так "одна сторона", а во-вторых, если бы у него было две (как у обычного кольца), то нет никаких сложностей в его выворачивании. Но вообще, по-моему, очевидно, что утверждение о "замене сторон" у поверхности, у которой и так одна сторона, совершенно бессмысленно.

Хотя, вероятно, я Вас неправильно понял?

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Законы физики воздействующие на объекты пространства, распространяются и на само пространство.

Вообще, для начала надо выбрать пространство которое мы будем выворачивать. Если пространство это салон самолета, то его не вывернуть на изнанку. Если пространство это наша реальность, то возможно ее выворачивает постоянно, только мы этого не замечаем.

[ibsorath.livejournal.com]

Ничего подобного. Ты путаешь уровни абстракции. Законы физики описывают взаимодействие материальных объектов. Пространство - это не материальный объект, а ещё один набор законов. Ну примерно как про число нельзя сказать, что оно имеет массу, размер, заряд и т.п. Число - абстракция, пространство - тоже.

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Есть три вида трактовки пространства: математический, физический и философский. Тот о котором ты говоришь, есть философский. Я же говорю в физическом и математическом понимании. :)

>Пространство - это не материальный объект, а ещё один набор законов.
А как же оси x,y,z,t? Пространственно-временной континуум? :)

>Число - абстракция
Число это обозначение, так же как и слово. :)

[ibsorath.livejournal.com]

Философию я считаю в лучшем случае поэзией, в худшем - словоблудием. По большей части.

Я говорю о том, что "пространство", о котором например идёт речь в физике - это математическая абстракция. Оси, координаты, метрика и размерность "существуют" совсем в другом смысле, чем конкретный стол или конкретный пацан.

Оси x,y,z,t - это абстрактный инструмент, используемый для математического описания взаимосвязи событий. А то получится как в анекдоте "ос - это болшой воображаемый палк, вокруг который вэртытса наш Зэмэл"))).

Абстракция - это и есть обозначение, по большей части.

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Я предлагаю закончить нашу дискуссию, так как она ни к чему, кроме спора не приведет. Видно уже отсюда, что мы не находим общий язык.

[ibsorath.livejournal.com]

Так я как раз хотел найти общий язык, разобраться где мы словам разное значение придаём. Видимо где-то я был слишком резок, прошу прощения. Настаивать на продолжении не буду, раз не хочешь.

[ex-u-soldat75.livejournal.com]

Разное значение слова пространство у нас. Физическое пространство есть некая среда в которой проходят наблюдаемые процессы. Математическое пространство есть некая плоскость, или набор плоскостей.
В первом случае, пространство определяется законами физики.
Во втором случае, пространство определяется линейными уравнениями.
Есть еще философское пространство, некий набор слов и умозаключений исходящий из фраз типа "а если бы".

[ibsorath.livejournal.com]

Наверно так. Но в физике используется и математическое пространство, и всякие там континуумы и оси относятся не к некой среде (среда это в любом случае какое-то поле или вещество, материя), а к способу организации, к структуре. Ну вот когда меряли сумму углов треугольника, образованного звёздами, чтобы посмотреть, чему она равна, тогда исследовали свойства пространства в математическом смысле.

В теории Эйнштейна "пространство-время" - это некая математическая структура, описывающая взаимосвязь событий во Вселенной. Там есть свои законы (типа "квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов"), которые удобно описывают наблюдаемые физические явления (постоянство скорости света и т.п.). Про всякие теории струн и высших размерностей ещё можно вспомнить.

[Имя Фамилия (from livejournal.com)]

Пример конструкции материала

Давайте сконструируем такой материал. Из кучи швейных иголок. Условимся, что иголку нельзя перегибать, но можно гнуть и менять ее длину. Кроме того, пусть острие или ушко иголки можно вставить в ушко другой иголки, чтобы такое сцепление было прочным, но без труда разнималось при нажатии. Как в замке английской булавки. А теперь соберем из N^3 иголок кубик с длиной стороны в N иголок. Каждое внутреннее соединение (узел) образовано ушками трех "исходящих" иголок и остриями трех "входящих". Итого в каждом внутреннем узле под прямыми углами соединены кончиками 6 иголок. Удобнее, конечно, нарисовать, но нет возможности. Такие кубики, как я описал, легко могут проходит друг сквозь друга под небольшим углом, потому что в каждый момент оказываются расцепленными только часть узловых соединений. Соединения во всех остальных узлах обеспечивают связность кубика. Понятно, что после прохождения расцепленной иголки между двумя соседними узлами другого куба ее соединение должно немедленно восстановиться. Как на пружинке. Вот и все. Отличная идея для детской игрушки )

[ibsorath.livejournal.com]

А вот ещё одна визуализация выворачивания сферы. На этот раз на английском, зато процесс деформации поверхности показан очень подробно.

[ibsorath.livejournal.com]

Ну и по ссылкам
http://torus.math.uiuc.edu/jms/Papers/isama/color/opt2.htm

[zogmeister.livejournal.com]

красивое видео, ага
у нас в ban_topology тоже лежит где-то

merci

[(Anonymous)]

Спасибо, познавательно.

--xio

[23-virus.livejournal.com]

спасибо. классная штука! мне она сегодня во сне приснилась. здорово работает.

[jusup0v.livejournal.com]

Любопытно.. Леха, а чисто делитански вот такая выкладка.

Допустим что где то в космосе болтаецо пара миллионов спутников.

В каждый момент времени между собой взаимодействуют только два соседних спутника посредством, допустим элетромагнита- притягиваются или отталкиваются так, что бы быть на одинаковом расстоянии.. Спутники достаточно тяжелые, что бы подобного рода "дискретизация" оставляла систему устойчивой.

Что значит в такой системе отсутствие "изломов" - предполагаю это типа того, что раз ты видишь "лицо" соседа, то показывать ему зад категорически запрещено.

Теперь представим, что все эти спутники составляют сферу. Получается, что как бы мы эту сферу у солнышка не крутили, спутник может подогревать только один свой бок, а другой не может потому что он направлен "внутрь сферы", а с соседом направленное взаимодействие терять нельзя - это против правил

Но согласно сабжу можно произвести такой хитрожопый маневр, что все спутники смогут подставить солнышку другой бок..

Вопрос "нахрена такая система спутников" оставлю открытым:))

Хотя почему.. пофантазируем - например солнечный парус или мегалинза, каждый сегмент этой штуковины ориентироваться в пространстве не умеет (двигателей нету), но может притягиваться взаимодействовать с соседями тремя магнитами. Тогда такая сфера в рабочем цикле будет использовать 100% поверхности своих спутников - одна сторона набирает энергию, другая "отдыхает" в тенечке. Для привода в движение этой штуковины достаточно несколько продвинутых сегментов с двигателями, которые с легкостью потянут за собой всю триллионную братию простейших.
Кстати не пил и не употреблял.

[ibsorath.livejournal.com]

да не, "другой бок" очень легко подставить "солнышку" без нарушений-"изломов", это и без полного выворачивания можно.

[jusup0v.livejournal.com]

нет нельзя, без потери "связи" с соседом

[jusup0v.livejournal.com]

кстати каким способом?