Занимательная топология: выворачивание сферы

[ibsorath]

Офигенное объяснение "на пальцах" теоремы Смейла, а точнее её следствия, которое тоже "на пальцах" часто формулируют как "в трёхмерном пространстве сферу можно вывернуть наизнанку". Разумеется, все термины (такие как "внутренняя" и "внешняя" сторона, "выворачивание" и т.п.) тут имеют особое значение, но всё-таки...

Вообще-то это всё относится к тому, что я называю "эзотерической математикой": всякая дифференциальная топология, алгебраическая геометрия и т.п.
Надеюсь найти когда-нибудь пяток-другой лет, чтобы разобраться в самых азах. Но снимаю шляпу перед теми, кто делает вот такие красивые, увлекательные и интересные иллюстрации.

Comments

[ibsorath.livejournal.com]

Не уверен, что правильно понял мысль.

Вероятно, ты имеешь в виду аналогичную теорему, когда выворачивается не 2-мерная сфера в 3-мерном пространстве, а 3-мерная сфера в 4-мерном? В таком случае я даже не в курсе, возможно ли это.

Окружность (1-мерная сфера) на плоскости (2-мерное пространство) не выворачивается, как показано на видео. Сфера в трехмерном выворачивается. А вот в каких пространствах больших размерностей как обстоят дела, я совершенно не представляю - говорю же, это для меня пока запредельные вещи. Четырёхмерное пространство вообще во многих отношениях уникально, насколько я знаю, то есть есть вещи, которые в нём работают, а например в 5-мерном и выше уже нет.

[ichhantik.livejournal.com]

А двухмерная в четырехмерном??

[ibsorath.livejournal.com]

Тут просто. Двумерная в четырёхмерном это двумерная в трёхмерной гиперплоскости, которая в свою очередь лежит в четырёхмерном пространстве. Так как двумерная сфера в трёхмерной гиперплоскости выворачивается, то ясно дело никакой роли не играет то, где сама эта гиперплоскость лежит - хоть в 4-х, хоть в 100 мерном пространстве.

[ichhantik.livejournal.com]

А не может сфера принадлежать к нескольким разным гиперплоскостям? И можно ли такую сферу вывернуть?

[ibsorath.livejournal.com]

Давай разбираться. Обычная окружность (1-мерная сфера) может принадлежать только одной (2-мерной) плоскости - если бы она лежала в двух разных плоскостях, то мы бы получили, что через 3 точки окружности (например вершины вписанного в неё треугольника) проходят 2 разные плоскости, а это противоречит аксиоме. Соответственно, обычная 2-мерная сфера может принадлежать только одной трёхмерной (гипер)плоскости - иначе, если бы 2-сфера лежала в двух разных 3-плоскостях, то взяв 4 точки сферы (например вершины вписанного тетраэдра), мы бы получили, что через 4 точки проходят 2 разные 3-плоскости, что опять таки противоречит аксиоме.